第一章 随机事件和概率
时间:2021-04-06


第一章 随机事件和概率



§ 1.1 随机事件和样本空间第一章 随机事件和概率

概率论的任务是寻求随机现象发生的可能性,并对这种可能性的大小给出度量方式及其算法

随机试验是对随机现象的观察

① 可在相同条件下重复进行

② 每次试验可能出现不同的结果,最终出现哪种结果,试验之前不能确定

③事先知道试验可能出现的全部结果

随机试验的每一个可能结果成为一个随机事件,简称事件

事件分为基本事件和复合事件。又可分为必然事件(记做Ω)和不可能事件(记做

样本空间:一个随机试验E产生的所有基本事件构成的集合称为样本空间(记做Ω),称其中元素为一个样本点,

记做ω。Ω={ω}。



§ 1.2 事件的关系和运算第一章 随机事件和概率

事件的包含与相等

② 事件的和(并)与积(交)

③ 互不相容事件与对立事件

设A、B为两事件,若A和B不能同时发生,即AB=,则称A和B是互不相容事件或互斥事件

若A、B互不相容,且他们的和为必然事件,即AB=及A∪B=Ω,则称A和B为对立事件或互为逆事件

④ 两事件的差

设A、B为两事件,“事件A发生而事件B不发生”是一个事件,称为事件A和B的差事件,记做A-B

事件的运算性质:

① 交换律:A∪B=B∪A,AB=BA;

② 结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,(AB)C=A(BC);

③ 分配律:A(B∪C)=(AB)∪(AC),

A∪(BC)=(A∪B)(A∪C);

④ 德摩根(De Morgan)对偶律:

(A∪B)的逆=A的逆交B的逆;AB的逆=A的逆∪B的逆



§ 1.3 事件的概率及其计算第一章 随机事件和概率

概率的统计定义——定义1.1: P(A)≈n/N

① 非负性 ② 规范性 ③ 有限可加性

古典型概率:① 有限性 ②等可能性

P(A)=(A中所有样本点数)/Ω中样本点总数=m/n

n的计数规则:加法原理、乘法原理

超几何分布

几何型概率



§ 1.4 概率的公理化定义第一章 随机事件和概率

设有随机试验E,E的样本空间为Ω,记包括Ω在内的E的所有事件组成的集合族为£,若对£中的任一个事件A

都能赋予一个实数P(A),且P(A)满足条件:

① 非负性:0=P(A)=1

② 规范性:P(Ω)=1

③ 可列可加性: 对两两互不相容的事件A,A,A…,有

P((i=1,)∑Ai)=(i=1,)∑P(Ai

则称P(A)为事件A的概率

性质1:不可能事件概率为0,即P()=0

性质2: 有限可加性

性质3:(逆事件)P(A的逆)=1-P(A)

性质4: P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)

性质5: (加法公式)设A、B、C为任意三个事件,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)



§ 1.5 条件概率和事件的独立性第一章 随机事件和概率

条件概率:P(A|B)=P(AB)/P(B)

非负性:0=P(A|B)=1

规范性:P(Ω|B)=1

可列可加性:

P(A的逆|B)=1-P(A|B)

乘法公式: P(AB)=P(A|B)P(B) 当P(B)0时

P(AB)=P(B|A)P(A)

全概率公式(定理1.1):设样本空间Ω的一个划分为A,A,A…,且P(Ai)0,i=1,2,...,n,则对任一事件B

含于Ω,有P(B)=(i=1,n)∑P(B|Ai)P(Ai)

贝叶斯公式: 设A,A,A… 为一个样本空间Ω的一个划分,且P(Ai)0,i=1,2,3,...,n.对任意的随机事件B

含于Ω,若P(B)0,则P(Ai|B)=P(B|Ai)P(Ai)/((j=1,n)P(B|Aj)P(Aj)